Tres problemas clásicos de las matemáticas griegas

1. Introducción

Los primeros 3 siglos de la matemática griega comienzan con los primeros esfuerzos de la geometría demostrativa por parte de Tales de Mileto alrededor del año 600a.C., y termina con los destacados Elementos de Euclides alrededor de 300a.C. Este período se constituye como un período de extraordinario desarrollo.

Los tres famosos problemas de las matemáticas griegas son:

1. La duplicación del cubo, o el problema de construir un cubo que tenga el doble del volumen de un cubo dado.
2. La trisección de un ángulo, o el problema de dividir un ángulo arbitrario en tres partes iguales.
3. La cuadratura del círculo, o el problema de construir un cuadrado que posea área igual a la de una circunferencia dada.

La importancia de estos problemas yace en el hecho de que no pueden ser resueltos, excepto por la aproximación, con regla y compás, a pesar de que estas dos herramientas han ayudado a resolver una enorme cantidad de problemas por construcción.

La profunda búsqueda de soluciones a estos tres problemas ha dejado múltiples descubrimientos, por ejemplo, la sección de cónicas, de muchas curvas cuadráticas y cúbicas y de varias curvas importantes. Mucho tiempo después se desarrolló parte de la teoría de las ecuaciones en lo que respecta a dominios de racionalidad, números algebraicos, y teoría de grupos.

La imposibilidad de las tres construcciones con sólo regla y compás fue establecida hasta el siglo XIX, más de 2000 años después de que fueron concebidos.

Es importante que aclaremos lo que sí está permitido hacer con regla y compás. Con regla está permitido dibujar líneas rectas de longitud indefinida, a través de dos puntos distintos cualesquiera; con el compás se permite dibujar círculos con cualquier punto dado como centro y que pase por un segundo punto cualquiera.

El dibujo de las construcciones geométricas, vistas como un juego con estas dos reglas, ha probado ser uno de los más fascinantes y absorbentes juegos jamás inventados. Los postulados dados en los Elementos de Euclides restringe el uso a estas dos reglas. Estas dos reglas son conocidas como Herramientas de Euclides.

Se debe aclarar que la regla no debe rer graduada, ya que con regla graduada es posible trisecar un ángulo. De igual forma, los compaces euclidianos difieren de los compaces modernos, puesto que con los compaces modernos está permitido dibujar un círculo teniendo un punto C cualquiera como centro y cualquier segmento AB como radio.

2. La duplicación del cubo

Se ha dejado a los geómetras el problema de encontrar como pueden duplicar un sólido que siga manteniendo su misma forma.

Parece no haber habido progresos en la solución del problema de duplicar un cubo hasta algún tiempo después, cuando Hipócrates descubrió su famosa reducción. Otra vez, hasta después, se dice que los "delian" fueron instruidos por su maestro que, para deshacerse de cierta pestilencia del altar, debieron duplicar el tamaño del altar de Apolo. El problema fue después tomado por Platón quien remitió a los geómetras el problema de encontrar la duplicación de un sólido, que siga manteniendo su misma forma, que no sufra deformaciones. Está, la última historia que habla del problema de duplicación es referido frecuentemente como el "problema délico". Mientras, si la historia es verdadera o no, el problema fue estudiado por la academia de Platón, y ahí hay varias soluciones geométricas atribuidas a Eudoxo, Menachechmus y aún (se piensa falso) de Platón mismo.

El primer progreso real en la duplicación del cubo fue cuando se pensó en la reducción del problema de Hipócrates (400a.C.) a la construcción de medidas proporcionales entre dos segmentos de líneas dadas de longitud s y 2s. Si denotamos las dos medias proporcionales por x y y, entonces de estas proporciones tenemos

de modo que

de donde

implica

así que

En consecuencia

Así, x es el lado de un cubo que tiene el doble del volumen del cubo de lado s.

Después de que Hipócrates hizo su reducción, hubo intentos subsecuentes de duplicar el cubo tomando la forma de construir dos medias proporcionales entre dos segmentos de líneas dados. Uno de los primeros, y en cierta forma una de las más notables, soluciones geométricas en esta forma fue dada por Archytas (400a.C.).

La solución de Manoechmus (300a.C.) dio dos soluciones del problema, y, tanto como se conoce, inventó la sección de cónicas para este propósito. Una solución posterior usando mecánica "contrivance" es acreditada a Eratóstenes (200a.C.), y otra del mismo tiempo a Nicómedes.

Ahora daremos otra demostración usando un poco de geometría (figura 1). Consideremos los triángulos CBA y DAB con ángulo recto en B y en A, que yacen en el lado común AB.

1. Sean AC y BD las hipotenusas de los rectángulos (respectivamente), que se intersecan perpendicularmente en P.
2. 2.De los triángulos semejantes CBP, BPA y APD (diga porqué lo son) se sigue que
   
   

   PC	=	PB	=	PA	.
   —		—		——
   PB		PA		2PD

   
   Así PB y PA son las dos medias proporcionales entre PC y PD. Se sigue que el problema queda resuelto si se puede construir una figura que tenga la propiedad
   

   PD = 2PC.

   
   

Observaciones

1. Del triángulo ABP y el triángulo BPC, se sigue que
   

   g + b = 90°,

   a + b = 90°,

   
   así que
   

   a = g.

   
   Ahora
   

   a + d = 90°,

   a + b = 90°,

   
   de donde
   

   b = d.

   
   Por consiguiente se afirma que
   

   DABP ~ DBPC.

   
   
2. Análogamente, del triángulo APD y el triángulo ABP, se sigue que
   

   a + q = 90°,

   a + b = 90°,

   
   y por ende
   

   q = b.

   
   Ahora
   

   q + f = 90°,

   
   es decir,
   

   b + f = 90°

   
   y
   

   a + b = 90°,

   
   así que
   

   a = f.

   
   Por ende, se afirma que DADP ~ DABP.

Como se puede ver, esta demostración se tuvo que hacer usando ciertas cosas que se supone no se debieron de usar para hacer la demostración; en mi siguiente artículo se verá la demostración algebraica de la imposibilidad de la duplicación del cubo, con herramientas euclidianas.

Referencias

Eves, Howard,

An Introduction to the History of Mathematics. Holt, Rinehart and Wiston.