Los elementos de Euclides

Poco se sabe del origen del autor de los Elementos para el estudio de la geometría, ya que su vida fue tan oscura que no existe asociado a su nombre ningún lugar de nacimiento. Sin embargo, es conocido por Euclides de Alejandría debido a que fue llamado por Ptolomeo I, como profesor de la escuela, o instituto conocido como el Museo, establecida por este gobernante de este imperio hacia el año 306a.C.

Los Elementos están divididos en trece libros o capítulos, los cuales tratan sobre geometría plana elemental, teoría de números, los inconmensurables y geometría de sólidos, y están integrados por su autor de acuerdo a lo siguiente:

Libro I. Las 48 proposiciones que contempla este libro, se dividen en tres grupos. Las primeras 26 tratan principalmente de las propiedades de los triángulos, de la 27 a la 32 establecen la teoría de las paralelas y demuestran que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos. Las proposiciones restantes de este primer libro tratan de paralelogramos, triángulos, cuadrados, el teorema de Pitágoras y su inverso que se establecen en las proposiciones en la 47 y 48 respectivamente. En este libro se observan entre otras las siguientes definiciones iniciales.

• Un punto es lo que no tiene parte o dimensión.
• Una línea es una longitud sin anchura.
• Una recta es una línea que tiene todos sus puntos en la misma dirección.
• Una superficie es la que tiene sólo longitud y anchura.
• Un ángulo plano es la inclinación entre sí de dos líneas de un plano, si éstas se cortan y no están en una misma recta.
• Cuando las líneas que comprenden el ángulo son rectas, se dice que el ángulo es rectileneo.
• Un círculo es una figura plana contenida en una línea, llamada circunferencia, tal que todas las rectas que van desde un punto particular hasta puntos de ella, quedando dentro de la figura son iguales.
• Figuras rectilineas son las contenidas entre rectas, figuras son las contenidas entre tres rectas (triángulos), cuadriláterales (o cuadriláteros) son las contenidas entre cuatro y las multilaterales o polígonos son las contenidas entre más de 4 rectas.
• Rectas paralelas son las que, estando en el mismo plano y prolongándolas indefinidamente en ambos sentidos, no se cortan ni en uno ni en el otro sentido.

Además, se encuentran los siguientes postulados:

1. Una recta puede trazarse desde un punto cualquiera hasta otro.
2. Una recta finita puede prolongarse continuamente y hacerse una recta ilimitada o indefinida.
3. Una circunferencia puede describirse con un centro y una distancia.
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. Si una recta que corte a otras dos forma con éstas ángulos interiores del mismo lado de ella que sumados sean menores que dos rectos, las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortan del lado en que dicha suma de ángulos sea menor que dos rectos.

Libro II. El libro II trata de la transformación de áreas y el álgebra geométrica griega de la escuela pitagórica. En este libro se establece la equivalencia geométrica de diversas identidades algebraícas y una generalización del teorema de Pitágoras conocida como la ley de los cosenos.

Libro III. Este libro trata de aquellos teoremas relativos a circunferencias, cuerdas, tangentes y la medición de los ángulos.

Libro IV. Contempla las exposiciones de las construcciones pitagóricas, con regla y compás de polígonos regulares de tres, cuatro, cinco, seis y quince lados.

Libro V. Contiene una exposición magistral de la teoría de la proposición aplicable a magnitudes inconmensurables y conmensurables. Teoría que resolvió un escándalo lógico creado por el descubrimiento pitagórico de los números irracionales.

Libro VI. Se aplica la teoría eudoxiana de la proposición a la geometría plana, se establecen los teoremas fundamentales de triángulos semejantes y construcciones que dan la tercera, cuarta y media proporcionales. Se establece una solución geométrica a las ecuaciones cuadráticas y la proposición de que la bisectriz interna de un ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los otros dos lados.

Libros VII, VIII y IX. Estos libros tratan de la teoría elemental de los números.

Libro X. En este libro se trata de los irracionales, esto es de segmentos rectilineos que son inconmesurables respecto al segmento rectilineo dado. Gran parte del contenido de este libro se cree es debido a Theaetetus, pero lo extraordinariamente completo, la clasificación elaborada y el acabado se acreditan a Euclides.

Libros XI, XII y XIII. Los restantes libros tratan de la geometría sólida o del espacio, cubriendo la mayor parte del material. Las definiciones, los teoremas acerca de rectas y planos en el espacio y los teoremas relativos a los paralelepípedos se encuentran en el libro XI, los volúmenes se tratan hábilmente en el libro XII y las construcciones de los cinco poliedros regulares se tratan en el libro XIII.

Ptolomeo preguntó una vez a Euclides si había un camino más corto para el conocimiento de la geometría que el de los Elementos, a quien, según se dice que Euclides aseguró que no existe ningún camino real a la geometría. Asimismo, existe una leyenda acerca de él que dice que cuando uno de sus alumnos le preguntó que qué utilidad tenía el estudiar geometría, Euclides ordenó a su esclavo que le diera unas monedas, ya que debe ganar algo necesariamente de lo que aprende.

Referencias

Boyer, Carl B.,

A History of mathematics, Wiley International Edition, EUA, 1968.

Eves, Howard,

Estudio de la geometria.