Pierre de Fermat (1601—1665), nació en Beaumont-de-Lomagne, cerca de Montauban. Su padre, un comerciante de pieles, después de haberle dado una instrucción sólida en su familia, lo envió a estudiar Derecho a Toulouse. Allí paso toda su vida, donde ejerció su carrera de abogado; a partir de 1631 fue consejero en el Parlamento. Murió en Castres en 1665. Fermat tuvo una carrera apacible, caracterizada por un cuidado ejemplar de hacer bien sus tareas, y en momentos de ocio, supo crearse ocupaciones literarias y apasionarse por las matemáticas. Fermat publicó rara vez sus descubrimientos, apenas algunas notas como apéndices o tratados escritos por otros. Como trabajaba para entretenerse, sus resultados más notables aparecen en los márgenes de estos tratados y un gran número de sus trabajos se han perdido. Mantuvo correspondencia con los científicos de su época y su reputación como matemático es inmensa.
Este singular científico contribuyó ampliamente a la evolución de las matemáticas en campos tan variados como la geometría analítica, el cálculo diferencial e integral, la teoría de números y la teoría de las probabilidades. Sus principales escritos sobre matemáticas fueron publidos en 1679, después de su muerte, bajo el título de Varia Opera Mathematica.
El problema que estudiaremos trata de una regla para la determinación de los extremos de las funciones algebráicas. Fue escrita (sin demostración) en 1637, en un pequeño tratado titulado Methodus ad Disquirendam Maximam et Minimam.
El objetivo del método de Fermat es, como su nombre lo indica, encontrar el máximo o el mínimo de una función f cuya variable es A. Se puede enunciar el método de Fermat de la siguiente manera. Reemplacemos A por1 A + E en f y hagamos f(A + E) aproximadmaente igual a f(A). Ordinariamente estos valores serán diferentes, pero en un máximo o un mínimo de una curva suave el cambio será casi imperceptible. Es por ello que para encontrar puntos máximos y mínimos Fermat igualaba f(A) y f(A + E), pues se dio cuenta de que los valores, aunque no eran idénticos, eran casi iguales. Dividamos cada término por E y finalmente eliminemos todos los términos que contengan E. Mientras más pequeño es el intervalo E entre dos puntos, la pseudoigualdad tiende a volverse una verdadera ecuación; por ende Fermat, tras dividir por E, hacía E = 0. La ecuación resultante se anula para uno o varios valores de la variable A, y estos valores corresponden a máximos y mínimos.
Apliquemos el método de Fermat al problema de dividir un número positivo en dos partes de manera que el producto sea máximo. Sea N el número conocido y A la cantidad desconocida. Entonces deberemos maximizar f(A) = A(N - A) = AN - A2. Apliquemos el método. Sustituyendo A por A + E en f, tenemos
y como f(A) = AN - A2, la pseudoigualdad es
de donde, simplificando,
Al dividir por E la expresión, obtenemos
Finalmente, haciendo E = 0 en la igualdad, resulta
Es decir, f alcanza su máximo, cuando A = N/2.
Es importante señalar que este método algorítmico es equivalente a calcular
| lim | f(A + E) - f(A) |
| —————— | |
| E —› 0 | E |
Teorema 1. Sea f una función definida en un intervalo abierto (a,b) tal que posee un máximo local o un mínimo local en c(a,b). Si f posee derivada en c, entonces f'(c) = 0.
El recíproco de este teorema es falso. En general, el saber que f'(c) = 0 no basta para deducir que f tiene un máximo o un mínimo en c. De hecho, es posible que carezca de ellos, como puede verificarse en el caso de f(x) = x3 con c = 0. Aquí f'(c) = 0 pero f es creciente en todo R. Además, es conveniente insistir en el hecho de que f puede tener un máximo local o un mínimo local en c sin que f'(c) = 0. Por ejemplo, f(x) = |x| tiene un mínimo en x = 0 pero naturalmente no existe la derivada en cero.
Veamos otro ejemplo de la aplicación del método de máximos y mínimos de Fermat. Encontremos los valores máximos o mínimos de
Es claro que f(x) = x3 + 6x2x - 12, y por ende
Igualando f(x) con f(x + E) obtenemos
de donde, simplificando, resulta
Al dividir ambos miembros de la ecuación por E tenemos
Tomando el valor de E = 0 resulta 3x2 + 12x + 5 = 0. Resolviendo esta ecuación de segundo grado tenemos
| x = | - 12 ± SQRT(122 - 4(3)(5)) | = | - 6 ± SQRT(21) |
| ——————————— | ——————— . | ||
| 6 | 3 |
de modo que
| - 6 + SQRT(21) | y | - 6 - SQRT(21) |
| ——————— | ——————— | |
| 3 | 3 |
son los valores de x en los cuales f alcanza su máximo o su mínimo.
1 Ahora los símbolos h o Dx se usan comúnmente en lugar de la E de Fermat.
2 En la terminología actual, a un punto de dominio de la función f en el cual f' evaluada en dicho punto se anule o quede indefinida, se le denomina punto crítico de f.