Taller
Polígonos con Papel

Básicamente, esta pregunta tiene dos incisos:

Consideremos el procedimiento que nos genera triángulos equiláteros (A^m-Bⁿ), y de ahí es fácilmente generalizable la observación. Recordemos que el primer doblez es al azar, y si lo que se quiere es que los dobleces formen ángulos de 60° con el borde de la tira, entonces dicho primer doblez mide 60°+e (e es un error, positivo o negativo). Fijándonos en la siguiente figura, se tiene que A₁A₀Q=60º+e.

Por lo anterior, se tiene que A₀A₁S=180°-(60°+e)=120°-e.

Al realizar el siguiente doblez se bisecta éste último ángulo, por lo que se tiene que A₂A₁S=60°-^e/₂.

Al continuar con los dobleces se siguen bisectando los ángulos, por lo que el error que va quedando se va dividiendo entre dos cada vez. A la larga, entre mayor sea el número de dobleces (n), menor será el error: .

Valor de m=n (Procedimiento Am-Bn)	Número de veces que un ángulo es bisectado	Ángulo formado por el doblez más largo como fracción del ángulo original	Número de lados del polígono
1   (A1-B1)	1		3
2   (A2-B2)	2		5
3   (A3-B3)	3		9

Generalizando, los polígonos que se pueden obtener son de la forma:

(2ⁿ+1)-gonos.

Para producir un polígono regular se necesitan dos condiciones:

1. Marcar los vértices a distancias regulares, y
2. Lograr ángulos en los dobleces que sean congruentes entre sí.

Y, de hecho, ambas condiciones se cumplen cuando aparecen triángulos congruentes entre sí al estar doblando la tira. El gran "obstáculo" sería únicamente encontrar el procedimiento para lograr que los ángulos formados por los dobleces midieran lo necesario para construir un polígono en particular (lo cual se discute a continuación).

Antes que nada hay que considerar el siguiente hecho:

En cualquier polígono, la suma de las medidas de sus ángulos externos es igual a 360º.

(Si a alguien no le convence la afirmación y necesita una demostración le sugerimos alejarse de la pantalla lo suficiente y verá cómo el polígono se convierte en un punto, y cómo sus ángulos externos "sumados" forman un ángulo de 360º.)

Ahora bien, como se están considerando sólo polígonos regulares se tiene que la medida de cualquiera de sus ángulos externos se puede obtener simplemente dividiendo 360º entre el número de lados del polígono, esto es, si p es el número de lados del polígono (un p-gono), entonces uno de sus ángulos externos mide ^360º/_p.

Pero hay que considerar también que al usar el algoritmo P-Y-T, el ángulo formado por el doblez (d) debe ser la mitad del ángulo externo del polígono, es decir: d=^180º/_p.

Y ahora sólo resta hallar el procedimiento (cantidad de dobleces para arriba y para abajo) a fin de obtener un polígono en particular.

Pensemos en el 7-gono, o eptágono, que sería el primer polígono de la forma (2k-1)-gono que no se puede lograr con el procedimiento Aⁿ-Bⁿ.

En este caso d=^180º/₇, y supongamos que se logra obtener un ángulo de esa medida con dobleces, tal como se muestra a continuación en el A₁A₀Q. En este caso el A₀A₁S es suplementario al anterior, es decir, mide ^(6x180º)/₇.

Como el doblez marcado por A₀A₁ fue hacia ABAJO (y no tiene caso bisectar el ángulo obtenido), se puede bisectar el A₀A₁S doblando hacia ARRIBA (creando el doblez A₁A₂) y formando el A₂A₁S de medida ^(3x180º)/₇. Éste último ángulo no se bisectaría nuevamente, porque entonces produciría un ángulo en términos de catorceavos de 180º. Sin embargo, el ángulo A₁A₂Q mide ^(4x180º)/₇, por lo que puede ser bisectado sin problemas con un doblez hacia ABAJO, creándose el A₃A₂Q de medida ^(2x180º)/₇. Falta poco para terminar, pues se puede bisectar nuevamente éste último ángulo con otro doblez hacia ABAJO, creándose el A₄A₂Q que mide ^(1x180º)/₇: exactamente el mismo ángulo que al inicio.

Los dobleces que se realizaron fueron (y continuando con el ciclo): ABAJO-ARRIBA-ABAJO-ABAJO-ARRIBA-ABAJO-ABAJO-... En resumen, se utilizó el procedimiento A¹-B² (o bien A²-B¹, que es lo mismo).

Sin embargo, el procedimiento simple A^m-Bⁿ no es suficiente en todos los casos. No obstante, el procedimiento descrito en los párrafos anteriores permiten jugar con las tiras para obtener el procedimiento necesario según el polígono deseado. Se puede observar que se inicia suponiendo que se tiene el ángulo deseado y después se realizan dobleces que bisectan los ángulos, teniendo el cuidado de no bisectar un ángulo que sea un fracción de 180º cuyo numerador es impar. El resultado, como ya se dijo, puede ser más complejo: para el 11-gono, por ejemplo, se necesita seguir el procedimiento A³-B¹-A¹-B³-A¹-B¹.

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