Taller
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| Introducción || Propiedades matemáticas || Bibliografía |
Procedimiento Am-Bn:
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Nota importante: El procedimiento descrito en esta sección y el algoritmo P-Y-T (que se describe más adelante) no son invención mía: aparecen en el libro de Peter Hilton y de Jean Pedersen titulado Build your own polyhedra.
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1. Se inicia con una tira larga de papel: |
2. Dobla hacia ARRIBA en cualquier ángulo: |
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3. Desdobla: |
4. Dobla hacia ABAJO siguiendo el doblez anterior: |
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5. Desdobla nuevamente: |
6. Vuelve a doblar hacia ARRIBA siguiendo el doblez anterior: |
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7. Desdobla otra vez: |
8. Otra vez dobla hacia ABAJO siguiendo el doblez anterior: |
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9. Desdobla: |
10. Continúa doblando alternativamente hacia ARRIBA y hacia ABAJO (A1-B1), siempre siguiendo el doblez anterior: |
Es posible observar que la tira se va llenando de dobleces que forman triángulos, los cuales parecen ser equiláteros hacia el final de la tira. A nivel práctico efectivamente sí son equiláteros dichos triángulos, sólo que habría que preguntarse el por qué. Antes de mirar la razón de este hecho, ¿el lector podría encontrarla?
También por obvias razones, para cualquier trabajo con esta tira se deberán eliminar los primeros triángulos, es decir, los triángulos que son más irregulares.
Con una tira de este tipo (llena de triángulo equiláteros) prueba a formar un triángulo. Sin embargo, es fácil descubrir que es aún más fácil formar un exágono.
Algoritmo P-Y-T:
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Este algoritmo (llamado originalmente F-A-T: Fold-And-Twist) sirve para crear 2k-gonos a partir de k-gonos.
Para realizar el exágono se introduce un doblez secundario que va a bisectar uno de los ángulos ya producidos en una tira de triángulos equiláteros.
1. Comienza con una tira de triángulos equiláteros (se han eliminado los primeros triángulos irregulares): | |
2. Se realiza un doblez secundario, para lo cual dobla hacia ABAJO exactamente como se muestra: |
3. A intervalos regulares realiza el mismo doblez secundario. El resultado se muestra más abajo. |
4. PLIEGA la tira siguiendo el doblez indicado por la flecha, de tal manera que los dos puntos rojos queden uno sobre el otro: | |
5. Ahora pliega siguiendo el doblez indicado por la flecha negra, como si se estuviera TORCIENDO la tira (es decir, siguiendo la flecha roja): | 6. El resultado es como el que se ilustra, siendo éste un vértice del exágono: |
| 7. Repite los pasos 4 al 6 (algoritmo P-Y-T) a intervalos regulares. | |
El exágono que se obtiene es como el de abajo a la izquierda:
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Si a una tira de papel con triángulos equiláteros (sin el doblez secundario del exágono) se le aplica este mismo algoritmo se obtiene un triángulo como el de arriba a la derecha.
Realizando dos dobleces en la tira hacia ARRIBA y dos dobleces hacia ABAJO, consecutivamente, se obtiene el siguiendo polígono: un pentágono.
| 1. Se comienza con el paso 3 del triángulo (después de un doblez hacia ARRIBA en cualquier ángulo): |
2. Dobla nuevamente hacia ARRIBA siguiendo el doblez anterior: |
3. Desdobla: | 4. Ahora dobla hacia ABAJO siguiendo el doblez anterior: |
5. Desdobla nuevamente: | 6. Dobla otra vez hacia ABAJO siguiendo el último doblez: |
7. Desdobla nuevamente: | 8. Continúa doblando consecutiva-mente dos veces hacia ARRIBA y dos veces hacia ABAJO (A2-B2), siempre siguiendo el doblez anterior, y queda algo así: |
Los primero triángulos (irregulares) se eliminan y así se puede plegar la tira siguiendo los diferentes dobleces. De hecho, se pueden observar dos tipos de dobleces: unos cortos y unos largos; si se usan los dobleces cortos se obtiene un pentágono como el de abajo a la izquierda, si se usan los dobleces largos el pentágono que queda es como el de abajo al centro. Si se utiliza el algoritmo P-Y-T el pentágono resultante es como el de abajo a la derecha:
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Al igual que el exágono, el decágono se obtiene introduciendo un doblez auxiliar en la tira del pentágono:
1. Comienza con una tira con dobleces tipo A2-B2: |
2. Introduce un doblez secundario como el que sigue: |
3. Desdobla y sigue realizando el mismo doblez secundario: |
Utilizando el algoritmo P-Y-T queda un decágono:
Se puede probar a hacer dobleces en una tira siguiendo el procedimiento A3-B3, ésto es: tres dobleces hacia ARRIBA y luego tres dobleces hacia ABAJO (recuérdese que en cada uno de los dobleces se debe seguir el doblez precedente). También se puede conjeturar qué polígono se obtiene con una tira doblada con este procedimiento.
Contrariamente a lo que se podría creer, no se obtiene un eptágono, sino un nonágono. Pero además, existen varias posibilidades de doblez (y en ocasiones de aplicaciones del algoritmo P-Y-T), pues en cada unidad hay tres tipos de dobleces:
La forma del polígono obtenido (siempre con nueve vértices) dependerá del tipo de dobleces que se tome en cuenta y si se usa el algoritmo P-Y-T. De hecho, se puede jugar un poco para obtener polígonos estellados (en forma de estrella).
Se puede hacer una conjetura sobre el número de lados que tendrá un polígono realizado a partir de una tira doblada con el procedimiento Am-Bn con m=n (como es el caso de hasta ahora). Si el lector no encuentra una relación puede ver qué polígonos son éstos.
Sin embargo, esos polígonos no son los únicos que se pueden obtener, pues uno tan sencillo como el eptágono se obtiene a partir de una tira doblada con el procedimiento A2-B1 (o A1-B2, que es lo mismo). De la misma manera, se puede jugar para encontrar procedimientos donde m y n tengan valores distintos o procedimientos más complejos que permitan crear polígonos de más lados.
Con esto quedan cubiertos la mayoría de los polígonos cuyos lados son de la forma (2k-1)-gonos (con k en los números naturales), es decir, polígonos con un número impar de lados; así como los polígonos de la forma 2(2k-1)-gonos, es decir, polígonos cuyo número de lados es el doble de los anteriores. Sin embargo, aún quedan dos casos interesantes:
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