Uso de la microcomputadora y del doblado de papel en la aplicación del modelo de van Hiele en la enseñanza de la Geometría Euclidiana en el nivel medio básico

El contenido de esta página web es un extracto de nuestra tesis de licenciatura que tiene como objetivo presentar ejercicios de doblado de papel que, bajo un marco teórico específico, fueron utilizados para el estudio de los cuadriláteros en la escuela secundaria mexicana. De lo anterior se desprende que no se incluye toda la tesis y, ni siquiera, todo el marco teórico; lo que se incluye antes de las actividades que se realizaron sólo es una introducción que buscan ubicar al lector en un contexto determinado.

El curso del experimento involucra de manera directa las propiedades que poseen un tipo de figuras geométricas denominadas cuadriláteros, por lo que presentamos las características de éstos, utilizando las que se sirvieron para alimentar a las microcomputadoras en los actividades programadas.

Lo inicial es la presentación de las propiedades de todos los cuadriláteros:

Los cuadriláteros son polígonos, figuras geométricas formadas de líneas rectas que encierran una porción finita de plano, cuya única característica es:

A partir de aquí, los cuadriláteros se dividen en tres grandes grupos: los paralelogramos, los trapecios y los trapezoides. Nos ocuparemos primeramente de los paralelogramos.

Los paralelogramos son un tipo de cuadriláteros que tienen como características:

Dentro de los cuadriláteros, y por las mismas características que éstas figuras poseen, podemos distinguir a los rectángulos, los rombos y el cuadrado.

Los rectángulos son paralelogramos que, aparte de cumplir con las propiedades de éstos últimos, tienen las características de que:

Los rombos, al ser paralelogramos también, cumplen con las propiedades de éstos y tienen las siguientes características:

El tercer tipo de paralelogramo, el cuadrado, cumple con las propiedades de los paralelogramos, los rectángulos y los rombos, por lo que puede ser considerado como un caso en particular de éstos últimos y sus características son una combinación de las características de dichas figuras, las cuales son:

El otro gran grupo de cuadriláteros, o "familia", es el de los trapecios. Los trapecios son cuadriláteros que tienen las siguientes características:

Dentro de los trapecios existen los trapecios isósceles, los trapecios escalenos y los trapecios rectángulos.

Los trapecios isósceles cumplen con las características de los trapecios y, además, con la característica siguiente:

Los trapecios escalenos cumplen, por ser trapecios, con las características del trapecio, además de que tienen la siguiente condición:

Finalmente, los trapecios rectángulos forman un subconjunto dentro de los trapecios escalenos, por lo que cumplen con las características de éstos y, también, con las características:

Con estas características se manejaron los cuadriláteros durante el desarrollo del experimento.

Comenzaremos por exponer lo que es el modelo de Van Hiele para la enseñanza de la geometría, observando que el término geometría se refiere a la geometría euclidiana exclusivamente.

El modelo de Van Hiele es un modelo de enseñanza que marca la pauta a seguir en la enseñanza de la geometría. Tuvo su origen en Holanda, donde los Van Hiele, profesores de matemáticas, se encontraron con problemas para poder hacer entender a sus alumnos las definiciones, los procesos y las situaciones relacionadas casi exclusivamente con la enseñanza de la geometría, ya que su aplicación en otras ramas de las matemáticas no ha sido tan eficiente.

El modelo consta principalmente de dos partes. La primera es descriptiva y se refiere a lo que Van Hiele define como "niveles de razonamiento"; la segunda, da las directrices para el desarrollo docente en lo que llama "fases de aprendizaje".

Los niveles de razonamiento son definidos como los estadios del desarrollo de las capacidades intelectuales del estudiante, los cuales no están directamente ligados con el crecimiento o la edad. Aunque este hecho hace que Van Hiele y Piaget difieran, la mayor parte de lo que se refiere a la adquisición del conocimiento y el desarrollo intelectual del estudiante concuerda entre ambos teóricos. Estos niveles de razonamiento se repasan sucesivamente en cada ocasión en que el estudiante se encuentra con un nuevo tema a tratar en matemáticas, pero los primeros son pasados de una manera más rápida que en ocasiones anteriores. Los niveles de razonamiento que plantea el modelo son:

1. Reconocimiento. En este nivel el estudiante percibe los elementos a estudiar en su totalidad, de manera global, como unidades e individuales, limitándose a descripciones y reconocimientos físicos exteriores.
2. Análisis. Se establece que los elementos a estudiar están formados por partes con propiedades, se pueden generalizar otras propiedades a partir de ejemplos, pero no es posible hacer clasificaciones lógicas por no relacionar unas propiedades con otras.
3. Clasificación. En este nivel el estudiante es capaz de dar definiciones formales de los objetos a estudiar, de establecer relaciones entre propiedades y deducir algunas de otras, pero no puede establecer la concatenación de razonamientos que pueden llevar a una demostración. El estudiante aún no es capaz de comprender la estructura axiomática de las matemáticas.
4. Deducción formal. En donde el estudiante es capaz de llevar a cabo razonamientos lógicos formales y comprender la estructura axiomática de las matemáticas, esto al tiempo de encontrarle sentido y utilidad a las demostraciones de teoremas. Asimismo, puede llegar al mismo resultado por distintos caminos, es decir, por medios equivalentes.

Vale la pena puntualizar que existen características que tienen todos los niveles, pero que en cada uno de éstos se manifiesta de distintas maneras. En términos generales estas características son: la jerarquización y secuencialidad de los niveles, la relación entre el lenguaje y los niveles y, la continuidad del paso por los niveles.

La jerarquización y secuencialidad de los niveles se refiere a la necesidad de transitar primero un nivel para, posteriormente, pasar al siguiente superior de tal manera que es obligatorio cursar todos sin omitir ninguno. Esto tiene la ventaja del elemento denominado recursividad, pues los conceptos y definiciones a los que un estudiante o educando en desarrollo tiene acceso en un determinado nivel los utilizará posteriormente en los siguientes.

La relación entre el lenguaje y los niveles se relaciona con el mismo desarrollo del estudiante y la manera en que se comunica con los demás, ya sea con el profesor o con sus compañeros. Se dice que "a cada nivel de razonamiento le corresponde un lenguaje específico", con lo que se quiere dar a entender que dos personas que cuyo nivel de razonamiento difieren difícilmente se comprenderán al platicar sobre el tema. Es necesario que el profesor presente a los alumnos o educandos las situaciones o el conocimiento con un lenguaje accesible y de acuerdo con su nivel de razonamiento. Por último, la continuidad del paso por los niveles. Esto implica que, en ocasiones, los educandos podrán presentar rasgos en sus procedimientos y razonamientos que corresponden a un estado de transición entre dos niveles. Como mencionan Jaime y Gutiérrez: "La evidencia de este período [el de transición] será que el estudiante mostrará deseos de usar el nivel superior, pero cuando encuentre dificultades o dudas tenderá a refugiarse en la seguridad del nivel inferior, en el que se siente más cómodo".

Es de capital importancia que cualquier profesor que tome a su cargo y dirección un grupo de geometría establezca el nivel en el que se encuentran sus alumnos. Esto se logrará por medio de procedimientos evaluativos en los que se deben evitar respuestas sencillas y que impliquen memorismos, ya que se tienen que mostrar los procedimientos de razonamiento que llevó a cabo el estudiante en el momento de resolver la cuestión. Esto se debe a la necesidad de saber el nivel de razonamiento del estudiantado, y no su nivel de conocimiento, no observando "si los estudiantes contestan bien o mal, sino cómo contestan y por qué lo hacen así".

La segunda parte del modelo, y que se refiere a las directrices que se dan a los profesores, son las llamadas fases de aprendizaje. Estas fases de aprendizaje son los períodos por los que se tienen que pasar en cada uno de los niveles para alcanzar el siguiente. En general son cinco, y son:

1. Información. Que se refiere a informar a los estudiantes del tema que se estudiará.
2. Orientación dirigida. Que se refiere a la investigación, búsqueda, etcétera, de conocimientos principalmente por parte de los alumnos. En esta fase se construye la red mental que permitirá relacionar los conocimientos posteriormente.
3. Explicitación. Que se refiere a la presentación y comparación de datos y conocimientos obtenidos entre el grupo. En este punto es importante que existan puntos de vista diferentes, y quizá divergentes, dentro del alumnado, ya que esto dará una mayor riqueza al mismo grupo y, al mismo tiempo, hará que el estudiante analice sus ideas, las ordene y las exprese con claridad.
4. Orientación libre. Que se refiere principalmente a la aplicación de los conocimientos adquiridos en las fases anteriores y su interrelación y aplicación junto con otros conocimientos ya adquiridos.
5. Integración. Esta fase se refiere a la acumulación, integración y comparación de conocimientos que se han adquirido, tratando de tomar conciencia en el uso de elementos implícitos de éstos.

De esta manera cada nivel de razonamiento queda estructurado en cinco fases de aprendizaje. Si quisiéramos hacer una analogía podríamos decir que el modelo puede ser representado por una escalera de caracol que diera cuatro vueltas sobre su eje (cada vuelta es un nivel) y en cada vuelta de la escalera se tendrían cinco escalones (uno por cada fase de aprendizaje). De esta manera, al alcanzar el nivel mayor podríamos decir que hemos llegado a la parte superior de la escalera.

Pero hasta este punto, ¿cómo va a generar estos conocimientos el alumno?

Desde esta postura, el alumno construirá el conocimiento a partir de "redes de relaciones", en el proceso de construirlas y modificarlas sucesivamente según el nivel de razonamiento en el que se encuentre.

Así, y de esta manera, tenemos que el aprendizaje lo caracterizamos por ser un proceso personal del individuo en el que inciden factores tanto internos como externos. "Es hacer más significativo el papel del sujeto en situación de habla, en la solución de problemas y en la realización de actividades para asumir críticamente y transformar sus relaciones de conocimiento con el entorno; es desarrollar el discurso explicativo y argumentativo de las actividades sapientes, las expectativas y la voluntad de apropiación de nuevos conocimientos". Pero se remarca mucho que el aprendizaje debe ser personal, es decir, otra persona no lo hará por nosotros y el profesor únicamente se dedica a guiar y coordinar. Y, ¿cómo se lleva a cabo este proceso? Paulo Freire contesta simplemente: "oyendo, preguntando, investigando".

En este modelo el profesor cambia el papel de expositor que comúnmente se le atribuye y toma un papel de coordinador de los trabajos. No se prepara para exponer clase y hacer exámenes, sino que busca los ejercicios y actividades necesarios para crearle un ambiente al alumno propicio para el desarrollo de su razonamiento y su tránsito por los diferentes niveles de razonamiento. Van Hiele lo expone de la siguiente manera: "El objetivo del arte de enseñar es precisamente enfrentarse a la cuestión de saber cómo se pasa a través de esas fases [del aprendizaje] y cómo se puede prestar ayuda al estudiante de forma eficaz". Y para que el docente alcance este objetivo se sirve de las experiencias controladas dentro del aula de clases, es decir, de la llamada educación matemática. Y así, mientras que el profesor cambia el papel de expositor a coordinador, el papel del alumno cambia de receptor pasivo de la información a buscador activo de la misma. Este cambio en los papeles implicará la necesidad de que el profesor conozca y maneje el material y el modelo para poderlo llevar a cabo sin mayores tropiezos, ayudando al estudiante en la búsqueda y construcción de su propio conocimiento.

Las actividades de origami eran una serie de 22 actividades en las que se utilizaron técnicas de doblado y rasgado de papel, todas clasificadas y ordenadas de acuerdo a cada figura a ver y de acuerdo a los niveles de razonamiento de Van Hiele, pretendiendo que el alumno vaya aumentando su nivel de razonamiento en cada figura. No podíamos aspirar a que los alumnos alcanzaran un nivel de razonamiento IV, porque desafortunadamente la falta de tiempo y las circunstancias socioculturales no lo permiten.

Estas 22 actividades que se desarrollaron están clasificadas según la figura de la siguiente manera:

Cuatro actividades para el rectángulo, comprendiendo actividades que corresponden desde el nivel I de razonamiento hasta el nivel III. Estas actividades fueron: construcción de un rectángulo (nivel I), nombramiento de los puntos donde se unen los lados (nivel II), identificación de las partes de un rectángulo (nivel II) y comprobación de las propiedades de un rectángulo (nivel III).

Cuatro actividades para el rombo, con una correspondencia entre los niveles del I al III, las cuales fueron: construcción de un rombo mediante dos métodos (nivel I ambas), relación existente entre los rombos y los rectángulos (nivel II) y comprobación de las propiedades de los rombos (nivel III).

Cinco actividades para el cuadrado, también con la intención de alcanzar un nivel III. Dichas actividades fueron: construcción de un cuadrado (nivel I), determinación de las partes de un cuadrado (nivel II), comprobación de que el cuadrado es un caso particular de los rectángulos (nivel III), comprobación de que el cuadrado es un caso particular de los rombos (nivel III) y comprobación de las características generales de los cuadrados (nivel III).

Ocho actividades para los trapecios y todas sus clasificaciones, actividades que corresponden desde el nivel I hasta el nivel III. Dichas actividades fueron: Construcción de un trapecio (nivel I), las partes de un trapecio (nivel II), construcción de un trapecio escaleno (nivel I), propiedades de los trapecios escalenos (nivel III), construcción de un trapecio isósceles (nivel I), propiedades del trapecio isósceles (nivel III), construcción de un trapecio rectángulo (nivel I) y propiedades del trapecio rectángulo (nivel III).

Una actividad que involucra a los trapezoides y que corresponde al nivel I de razonamiento, la cual fue la obtención de trapezoides a partir de un cuadrado de papel (nivel I).

Todas estas actividades fueron clasificadas, como ya se mencionó, tomando en cuenta la complejidad de los dobleces y la complejidad de los conceptos utilizados en cada una de ellas para colocarlas en un orden de acuerdo con el nivel de razonamiento y la fase de aprendizaje, para pasar a su transcripción en las secuencias didácticas que más adelante describiremos (sección III.2.2).

El apoyo del doblado de papel fue destinado a las actividades del experimento, para lo cual fueron recopiladas, elaboradas y clasificadas un total de 22 actividades que fueron las que constituyeron el proceso del experimento. Estas actividades fueron tomadas en cuenta utilizando una lista de postulados a fin de para mantener un cierto rigor que nos permita continuar sobre una línea lógico-deductiva aceptable y que pasamos a considerar a continuación:

1. Puede considerarse que una hoja de papel es una superficie plana.
2. Un pliegue realizado en una hoja de papel que pase por dos puntos del papel y que se ha hecho sobre una superficie plana como soporte es una línea recta.
3. El papel puede ser plegado de tal manera que pase por dos o más puntos colineales.
4. Pueden superponerse dos puntos distintos en una misma hoja de papel.
5. Puede plegarse el papel de modo que un punto puede superponerse a otro pliegue.
6. Puede plegarse el papel de modo que dos pliegues de una misma hoja pueden superponerse.
7. Dos ángulos son congruentes si al superponerse coinciden.
8. Dos segmentos son congruentes si al superponerse coinciden.

Considerando los postulados las 22 actividades fueron clasificadas inicialmente de acuerdo a la figura geométrica a la que se referían para ser posteriormente clasificadas de acuerdo al nivel de razonamiento y a la fase de aprendizaje que les correspondía.

De esta manera obtuvimos cuatro actividades para los rectángulos, cuatro para los rombos, cinco para los cuadrados, seis para los trapecios y una actividad para los trapezoides. Actividades que fueron ordenadas en las secuencias didácticas que en las páginas siguientes se presentan.

FIGURA: RECTANGULO

Nombre de la Actividad
Nivel	Fase	CONSIGNA	PLAN DE TRABAJO	OBSERVACIONES
1 Construcción de un rectángulo
I	2	1.- Tomen un trozo de papel irregular. 2.- Dóblenlo y córtenle un lado. 3.- Dóblenle otro lado de tal forma que quede haciendo ángulo recto con el primero, quedando otro lado. 4.- Escojan uno de los lados existentes y doblen perpendicularmente para que quede un tercer lado. 5.- Formen el cuarto lado de igual manera que los tres lados anteriores.	1.- Se formarán equipos de tres integrantes. 2.- Elaborarán cada uno un rectángulo. 3.- En equipo compararán las figuras resultantes, estableciendo los parecidos y las diferencias.	Se pretende que el alumno identifique el rectángulo a través de la orientación dirigida y comparta sus experiencias con sus compañeros.
2 Nombrar los puntos donde unen dos lados de un rectángulo
II	1	1.- Tomen un rectángulo e identifiquen sus cuatro esquinas. En cada esquina se encuentran dos lados que se tocan en ese mismo punto. 2.- Denle un nombre a ese punto. 3.- Ahora encuentra el punto de estos de arriba a la izquierda y ponle "A". 4.- Enseguida y en el mismo sentido que las manecillas del reloj localiza el siguiente punto y llámale "B". 5.- Continúa con la misma secuencia y llama "C" y "D" a los siguientes puntos.	Sentados alrededor del salón identificarán lo vértices, de manera individual y con orientación dirigida.	Se pretende generalizar la idea de identificación de vértices. Se necesitarán rectángulos de diversas dimensiones.
3 Identificación de las partes de un rectángulo.
I	2	1.- Doblen un rectángulo a través de dos esquinas (no importa si las otras dos esquinas no coinciden). 2.- Pónganle nombre al doblez que resulta (diagonal). 3.- Con el mismo procedimiento del paso 1, pero con las otras esquinas, encuentra la otra diagonal. 4.- Nombren el punto donde se cruzan las diagonales.	Sentados alrededor del salón por parejas realizarán de forma individual los dobleces para después intercambiar opiniones acerca de los dobleces y los nombres otorgados.	Para esta actividad se requieren rectángulos de diversas dimensiones. Después de que los alumnos hayan nombrado las partes se le darán a conocer el nombre aceptado comúnmente.
4 Comprobación de las propiedades del rectángulo.
II	4	1.- Dado un rectángulo por superposición comprueben: a) si los cuatro ángulos son rectos e iguales; b) si los cuatro lados a veces no son iguales; c) si las parejas de lados opuestos son iguales entre sí.	En equipos de 3 tratarán de realizar la comprobación. Se intercambiarán opiniones en los mismos equipos. Los resultados y experiencias se intercambiarán ante el grupo.	Se pretende que el alumno alcance un nivel de pensamiento que le permita realizar comprobaciones iniciales y no formales. Para la actividad se utilizarán rectángulos de diversas dimensiones.

FIGURA: ROMBO

Nombre de la Actividad
Nivel	Fase	CONSIGNA	PLAN DE TRABAJO	OBSERVACIONES
5 Construcción de un rombo. Método I.
I	2	1.- Tomen un rectángulo AB'CD' y obtengan la diagonal AC. 2.- Sobrepongan A y C para formar un doblez perpendicular a la diagonal en su punto medio (el punto O). 3.- El punto B se forma con la intersección del doblez del paso 3 con el lado B'C. 4.- El punto D se forma con la intersección del doblez del paso 3 con el lado AD'. 5.- Doblen de C a D y corten el triángulo que se forma con los puntos C, D y D'. Hagan lo mismo doblando de A a B y cortando el triángulo ABB'. 6.- El cuadrilátero ABCD es un rombo.	Se colocarán en círculo los alumnos para realizar de manera individual los dobleces. Identificarán en equipos las partes del rombo y las mencionarán junto con algunas características que se observen.	Se pretende que el alumno identifique la forma de la figura (el rombo) utilizando la orientación dirigida, pasando posteriormente al intercambio de experiencias. Al partir de rectángulos se sugiere que en estas dos actividades se utilicen rectángulos de distintas dimensiones, incluyendo cuadrados o casi cuadrados.
6 Construcción de un rombo. Método II.
I	2	1.- Dado un rectángulo A'B'C'D', hagan dobleces en la mitad superponiendo el lado A'D' sobre B'C' y A'B' sobre C'D' para obtener los puntos medios de las lados A, B, C, D y el punto central O. 2.- Hagan un doblez que vaya de A a B, otro que vaya de B a C, otro de C a D y otro de D a A. 3.- Eliminen los triángulos que se forman en las esquinas del rectángulo. 4.- La figura resultante es un rombo.	Se colocarán en círculo los alumnos para realizar de manera individual los dobleces. Identificarán en equipos las partes del rombo y las mencionarán junto con algunas características que se observen.	Se pretende que el alumno identifique la forma de la figura (el rombo) utilizando la orientación dirigida, pasando posteriormente al intercambio de experiencias. Al partir de rectángulos se sugiere que en estas dos actividades se utilicen rectángulos de distintas dimensiones, incluyendo cuadrados o casi cuadrados.
7 Relación existente entre los rombos y los rectángulos.
II	3	1.- Construyan un rombo que tenga diagonales de aproximadamente 20 cm y 14 cm. 2.- Recórtenlo y doblen las puntas de tal manera que sigan sobre el centro. 3.- Responda:   a) ¿qué figura se forma?   b) ¿cómo es su tamaño comparado con el del rombo?	Cada alumno realizará el rombo y los dobleces. En equipos de 3 comentarán las características de la figura resultante. En el grupo de intercambiarán los resultados y observaciones.	Se intenta, al convertir un rombo en un rectángulo, que el alumno observe las relaciones entre estados dos figuras y las ubique como "parientes" dentro del mismo grupo de cuadriláteros (los paralelogramos).
8 Comprobación de las propiedades del rombo.
III	4	1.- Construyan un rombo y por superposición comprueben:   a) si los cuatro lados son iguales;   b) si las diagonales son perpendiculares entre sí;   c) si el punto O es el punto medio de las diagonales;   d) si los ángulos opuestos son iguales;  e) si es un paralelogramo.	El grupo se organizará en parejas. Individualmente se realizará la construcción de los rombos. En equipo se realizarán las comprobaciones. Se intercambiarán experiencias y observaciones en el grupo.	Se pretende que el alumno determine las características que no varían en los rombos, para lo cual se necesitarán rombos de distintas dimensiones y el intercambio de experiencias entre los alumnos.

FIGURA: CUADRADO

Nombre de la Actividad
Nivel	Fase	CONSIGNA	PLAN DE TRABAJO	OBSERVACIONES
9 Construcción de un cuadrado.
I	2	1.- tomen un rectángulo cualquiera y dóblenlo de tal manera que un lado corto coincida con un lado largo. El resultado es una figura hecha por un triángulo y un rectángulo más pequeño. 2.- Doblen por la línea que une al triángulo con el rectángulo pequeño y corten por ahí utilizando la navaja. 3.- Al quitar el rectángulo pequeño queda únicamente un triángulo doble. Desdóblenlo y se obtiene un cuadrado.	De manera individual se llevarán a cabo los dobleces y los cortes.	Se pretende que el alumno comience a construir cuadrados. Al igual que en otras actividades, se sugiere utilizar rectángulos de diversas dimensiones.
10 Determinar las partes del cuadrado.
II	2	1.- Tomen un cuadrado y hagan un doblez que vaya de esquina a esquina. ¿Cómo llamarían a este doblez? 2.- Hagan otro doblez que el otro par de esquinas. 3.- Observen el punto donde se cruzan los dobleces. ¿Cómo llamarían a ese punto? 4.- Ese punto, ¿cómo divide a cada uno de los dobleces? 5.- ¿Qué ángulo forman los dobleces entre sí?	Organizar a los alumnos en equipos de tres integrantes. Se harán los dobleces y las comprobaciones de manera individual. Se compararán los resultados dentro de los equipos y, posteriormente, en el grupo.	Se pretende que el alumno determine y nombre cuáles son las partes del cuadrado que siempre se presentan, aunque varíen de tamaño.
11 Comprobación de que el cuadrado es un caso particular de los rectángulos.
II	4	1.- Tomen un cuadrado y apliquen las propiedades del rectángulo: Comprobar que   a) los cuatro ángulos son iguales;   b) los lados opuestos son iguales entre sí;   c) las diagonales se cortan entre sí en sus puntos medios. (Actividad no. 4.)	Se formarán equipos de tres integrantes para intentar hacer la demostración en equipo. Se compararán los resultados en cada equipo. Se compararán los resultados, las observaciones y las conclusiones a nivel grupal.	Se pretende que el alumno relacione las características de los rectángulos que posee el cuadrado para finalmente concluir que éste último es un caso particular de aquéllos. Nuevamente, y es importante, se sugiere utilizar cuadrados de diversas dimensiones para evitar el creer que el tamaño influye en este tipo de relaciones.
12 Comprobación de que el cuadrado es un caso particular de los rombos.
II	4	1.- Tomen un cuadrado y apliquen las propiedades del rombo: Comprobar que   a) los cuatro lados son iguales;   b) las diagonales son perpendiculares entre sí;   c) los ángulos opuestos son iguales. (Actividad no. 8.)	Se formarán equipos de tres integrantes para intentar hacer la demostración en equipo. Se compararán los resultados en cada equipo. Se compararán los resultados, las observaciones y las conclusiones a nivel grupal.	Se pretende que el alumno relacione las características de los rombos que posee el cuadrado para relacionarlos entre sí y concluir que éste es un caso particular de aquéllos. Nuevamente es importante utilizar cuadrados de distintas dimensiones.
13 Comprobación de las carácterísticas generales de los cuadrados.
III	4	1.- Tomen un cuadrado y, por superposición, comprueben las propiedades del cuadrado: a) si los cuatro lados son iguales; b) si los cuatro ángulos son iguales; c) si sus diagonales son perpendiculares entre sí y se cortan en sus puntos medios.	Se formarán equipos de tres integrantes. Se harán los dobleces de manera individual. Se compararán los resultados por equipo. Se compararán los resultados, las observaciones y las conclusiones a nivel grupal, estableciendo relaciones entre esta actividad y las dos anteriores.	Se pretende que el alumno generalice las características inmutables de los cuadrados y lo considere como rectángulo y rombo, simultáneamente.

FIGURA: TRAPECIO

Nombre de la Actividad
Nivel	Fase	CONSIGNA	PLAN DE TRABAJO	OBSERVACIONES
14 Construcción de un trapecio.
I	2	1.- Tomen un rectángulo y elijan un lado al que llamaremos "borde". 2.- En el lado opuesto a la "base" escojan un punto. 3.- Unan los extremos de la "base" con el punto que escogieron utilizando dos dobleces. 4.- Hagan un doblez que sea paralelo a la "base". 5.- En la parte inferior, pegada a la "base", se forma una figura de cuatro lados a la que llamaremos trapecio.	El grupo se organiza en equipos de 2 ó 3 integrantes. Los dobleces y las construcciones se realizan de manera individual. Se comparan los resultados en los equipos.	Se pretende que el alumno logre una visualización general de los trapecios.
15 Partes de los trapecios.
II	2	1.- Tomen un trapecio y dóblenlo por dos esquinas opuestas. El doblez que resulta es una diagonal. 2.- La otra diagonal se obtiene de manera semejante, pero usando el otro par de esquinas. 3.- EL punto donde se cruzan las diagonales, ¿cómo lo llamarías? 4.- El lado que llamamos inicialmente "base" se le llama "base mayor". 5.- Al lado opuesto a la "base mayor" se le llama "base menor". 6.- Las dos "bases", ¿son paralelas entre sí?	Después de organizar por equipos al grupo, los dobleces y la observación se llevará a cabo individualmente, para posteriormente intercambiar experiencias en los equipos.	El alumno determinará qué partes del trapecio son invariables, sin considerar cuestiones de tipo cuantitativo.
16 Construcción de un trapecio escaleno.
I	2	1.- Tomen un rectángulo y hagan el mismo procedimiento que se hizo para hacer el trapecio (actividad 14), con la pequeña diferencia de que el punto escogido en el lado opuesto a la "base" NO sea el punto medio.	Se organizan a los alumnos por equipos. La construcción se lleva individualmente y, al final, se comparan resultados en los equipos.	El alumno podrá visualizar la forma general de un trapecio escaleno y, sólo en caso de conocer a los triángulos escalenos, podrá comparar su forma y su forma con éstos últimos.
17 Propiedades de los trapecios escalenos.
III	4	1.- Tomen un trapecio escaleno y comprueben que:   a) las dos bases son paralelas entre sí;   b) los dos lados que no son bases NO son iguales;   c) las diagonales tampoco son iguales. 2.- Si saben acerca del triángulo escaleno establecer la relación éste por lo del nombre.	En equipos de tres integrantes llevar a cabo la actividad. Comentar dentro del equipo los resultados y posteriormente comentarlos a nivel grupal.	Se pretende que el alumno generalice las características de los trapecios escalenos.
18 Construcción de un trapecio isósceles.
I	2	1.- Tomen un rectángulo y hagan el mismo proceso que se siguió para el trapecio (actividad 14), pero ahora el punto elegido debe ser el PUNTO MEDIO del lado opuesto a la base.	Organizar equipos y doblar individualmente. Comparar los dobleces en los equipos y plantear la cuestión del nombre.	El alumno podrá visualizar la forma general de los trapecios isósceles y, sólo si conoce los triángulos isósceles, podrá comparar en forma y nombre aquéllos con éstos.
19 Propiedades del trapecio isósceles.
III	4	1.- Tomen un trapecio isósceles y comprueben que:   a) las dos bases son paralelas;   b) los lados que no son bases son iguales;   c) las diagonales son iguales;   d) los ángulos en los extremos de la base mayor son iguales; y   e) los ángulos en los extremos de la base menor son iguales. 2.- Si saben acerca del triángulo isósceles establecer la relación con éste por lo del nombre.	Organizar el grupo en equipos de tres alumnos. Realizar las comprobaciones y comentar los resultados en los equipos. Posteriormente comentar los resultados y observaciones a nivel grupal.	Se pretende que el alumno determine las características y propiedades generales de los trapecios isósceles, sin importar criterios cuantitativos.
20 Construcción de un trapecio rectángulo.
I	2	1.- Tomen un rectángulo y realicen el mismo procedimiento que se llevó a cabo para construir el trapecio (actividad 14) pero el punto escogido debe ser uno de los dos extremos del lado opuesto a la "base".	Organizar el grupo en equipos de tres alumnos. Realizar la construcción de manera individual. Comentar los resultados en los equipos.	El alumno podrá crear y visualizar los trapecios rectángulos a partir de un rectángulo, formándose una idea general de los mismos.
21 Propiedades del trapecio rectángulo.
III	4	1.- Tomen un trapecio rectángulo y comprueben:   a) si las dos bases son paralelas;   b) si los lados que no son bases NO son iguales;   c) si los ángulos en los extremos de uno de los dos lados que no son bases son rectos. 2.- Si saben acerca del triángulo rectángulo establecer la posible relación a través del nombre. 3.- Determinen si el trapecio rectángulo es trapecio isósceles o trapecio escaleno.	Organizar al grupo en equipos de tres. Realizar los dobleces y las observaciones inicialmente de manera individual. Comparar los resultados por equipos y, posteriormente, a nivel grupal junto con las conclusiones.	Se pretende que el alumno determine las propiedades y características generales de los trapecios rectángulos y establecer, sólo si conocen los triángulos rectángulos, una analogía con éstos a través del nombre. Finalmente el alumno establecerá una relación de esta figura con las propiedades de los trapecios escalenos para concluir que aquéllos son un subconjunto de éstos últimos.

FIGURA: TRAPEZOIDE

Nombre de la Actividad
Nivel	Fase	CONSIGNA	PLAN DE TRABAJO	OBSERVACIONES
22 Construcción de un trapezoide.
I	2	1.- Tomen un cuadrado y háganle un doblez que pase por el centro, pero que no sea diagonal. 2.- Corten por el doblez hecho. 3.- Se han obtenido dos figuras congruentes, ¿qué son? 4.- Se hace ahora otro doblez que pase por el centro del cuadrado inicial y que sea perpendicular al primer doblez. 5.- Corten por el doblez realizado. 6.- Se han obtenido cuatro figuras. ¿Qué son?, ¿cómo son?	Organizar al grupo por parejas. Realizar individualmente los dobleces y compararlos con su pareja.	Se pretende que, con la ayuda de todo el grupo, el alumno encuentra las características que tienen los trapezoides. Al igual que en actividades anteriores, es recomendable utilizar cuadrados de distintos tamaños.