3 abril 1998

Demostraciones de la Unidad 4
Leyes de la Probabilidad

Permutaciones con repetición

Inicialmente consideremos el ejemplo donde se toman de A={a,b,c,d} "palabras" de dos letras:

aa	ab	ac	ad
ba	bb	bc	bd
ca	cb	cc	cd
da	db	dc	dd

y entonces cada palabra se puede ver como una función posición de I₂={1,2} en A:

f₁: I₂ ® A 1a 2a	f₂: I₂ ® A 1a 2b	...	f₄: I₂ ® A 1a 2d
f₅: I₂ ® A 1b 2a	...	...	. . .
. . .	...	...	. . .
f₁₃: I₂ ® A 1d 2a	...	...	f₁₆: I₂ ® A 1d 2d

Consideremos en lo sucesivo la familia de funciones

I₂ ® A: { f_i: I₂ ® A | A={a,b,c,d} }.

Para probar la fórmula se definirán las permutaciones con repetición de la siguiente manera:

OR_n^r = #{ f : I_r ® A | #A=n }

y entonces resulta que hay que demostrar que la cardinalidad del conjunto de funciones f de ese tipo es igual a n^r.

Para esto primero consideremos la respuesta a la siguiente pregunta: Si #A=n y si f:I₂ ® A, ¿de cuántas maneras se puede extender a una función g:I₃ ® A?

Si #A=n, cada función I_r ® A se puede extender de n maneras a una función I_r+1 ® A. Es decir, cada función I_r ® se puede ver como una restricción de una función I_r+1 ® A.

El proceso de demostración se hará por medio de inducción sobre r, para lo cual consideraremos el conjunto A={a₁,a₂,...,a_n}.

i) Si r=1 entonces efectivamente se cumple, pues OR_n¹ = #{ f : I₁ ® A } = n = n¹.

ii) Suponiendo que el teorema es cierto para r-1, es decir que se cumple

OR_n^r-1 = #{ f : I_r-1 ® A } = n^r-1
habrá que demostrar que se cumple para r.

Sabemos que

OR_n^r = #{ f : I_r ® A }
por definición. Pero por lo que se vio antes sobre las maneras de extender una función es lo mismo que
OR_n^r = n · #{ f : I_r-1 ® A }
y utilizando la hipótesis de inducción se tiene
OR_n^r = n · #{ f : I_r-1 ® A } = n · n^r-1 = n^r

Permutaciones sin repetición

Consideremos el conjunto A y las funciones I_r ® A que se han definido previamente (demostración anterior), se definirán las permutaciones sin repetición de la siguiente manera

P_n^r = #{ f : I_r ® A | #A=n, f es inyectiva }
para ver que la cardinalidad de este conjunto es
n·(n-1)·(n-2)·...·(n-m+1)=

Así que planteemos primero la cuestión: f:I₂ ® A y f es inyectiva, entonces ¿de cuántas maneras se puede extender a una función g:I₃ ® A, tal que g sea inyectiva?

Se extiende de un total de #A-2 maneras, es decir, de n-r maneras.

Para la demostración se utilizará inducción sobre la r y el mismo conjunto A={a₁,a₂,...,a_n}.

i) Si r=1 entonces

P_n¹ = #{ f : I₁ ® A | #A=n y f es inyectiva } = n = (n-1+1)

por lo tanto se cumple.

ii) Supondremos que para r-1 se cumple:

P_n^r-1 = #{ f : I_r-1 ® A | #A=n y f es inyectiva } = n·(n-1)·...·(n-r+2)
y se buscará probar que se cumple para r.

Por definición, se tiene que

P_n^r = #{ f : I_r ® A | #A=n y f es inyectiva }
que al ser extendida como ya se comentó más arriba se obtiene:
P_n^r = (n-(r-1)) · #{ f : I_r-1 ® A | #A=n y f es inyectiva } =
= (n-r+1)·n·(n-1)·(n-2)·...·(n-r+2) = n·(n-1)·(n-2)·...·(n-r+2)·(n-r+1)
o, que es lo mismo,
P_n^r =

Combinaciones

Las combinaciones se han definido como los subconjuntos obtenidos a partir de un conjunto, así que, éstas se pueden denotar como:

C_n^r = #{ B Ì A | #B = r, #A = n }, con n³r.

Entonces se va a demostrar que la cardinalidad del conjunto de subconjuntos de A es

C_n^r =

Consideremos los conjuntos S={f:I_r ® A |#A=n y f es inyectiva} y T={BÌA | #B=r, #A=n}.

Se va a definir una función j:S®T tal que j(f)=Imf

Resulta que j es suprayectiva, ya que si BÎT, con B={a₁,a₂,...a_r}, entonces existe una función f:I_r®A tal que f(i)=a_i, es decir que la imagen de f es B (Imf=B), por lo que j(f)=B. Además, j no es inyectiva.

Tenemos que

#S = P_n^r =

y además
r! · #T = #S Þ #T =

· #S =

y como
#T = C_n^r =

queda demostrado.

Propiedad 1 de la Probabilidad

Sean A=(AÇB) È (AÇ(~B)) y B=(BÇA) È (BÇ(~A)).

Es claro que los eventos (AÇB) y (AÇ(~B)) son mutuamente excluyentes, así como (BÇA) y (BÇ(~A)).

Por lo tanto, por el axioma 3 se tiene que:

P(A) = P(AÇB) + P(AÇ(~B)) (1)
y
P(B) = (BÇA) + (BÇ(~A)) (2)

Además

P(AÈB) = P[(AÇB) È (AÇ(~B)) È (BÇA) È (BÇ(~A))]
= P[(AÇB) È (AÇ(~B)) È (BÇ(~A))]
y por el mismo axioma se tiene que
P(AÈB) = P(AÇB) + P(AÇ(~B)) + P(BÇ(~A)) (3)

Al sustituir (1) y (2) en (3) se obtiene

P(AÈB) = P(AÇB) + [P(A) - P(AÇB)] + [P(B) - P(BÇA)]

Por tanto

P(AÈB) = P(A) + P(B) - P(AÇB)

Demostración de que la distribución probabilística binomial cumple con las propiedades de la distribuciobnes probabilísticas de variable discreta

Como se mencionó en el apartado 7 de esta unidad, las distribuciones probabilísticas cumplen con dos propiedades: a) todos los valores de la distribución son mayores o iguales que cero, y además son menores o iguales que uno; y b) La suma de todas las probabilidades de la distribución es la unidad. Esta demostración es para mostrar que la distribución probabilística binomial cumple con tales propiedades.

Se puede observar que en ningún caso las combinaciones toma valores negativos, y como p y q son positivos o cero, entonces todos los valores de la distribución probabilística son positivos o cero.

Faltaría mostrar que las imágenes de la función no toman valores mayores que uno, pero eso se hará después de la siguiente parte.

Para demostrar que la suma es igual a la unidad, se hará referencia al teorema del binomio, por lo que se tiene que:

Además, como la suma total de las probabilidades es la unidad, entonces cada una de éstas debe ser menor o igual que uno.

Con esto queda demostrado que, efectivamente, la distribución probabilística binomial cumple con las dos propiedades de las distribuciones probabilísticas de variable discreta.

La media de una distribución binomial

Considerando, como ya se ha dicho con anterioridad, que la media de una distribución probabilística de variable discreta es m=Sx·P(x), y también que la función que modela la distribución binomial es , entonces se sigue que:

Sean y=x-1 y m=n-1, entonces realizando la sustitución en el último renglón se tiene que:

Sólo que la sumatoria presente es la suma de todos los valores de una distribución binomial con parámetros m y p, cuyo resultado ya se demostró que es igual a 1.

Por tanto, se tiene

m = n·p

La desviación estándar de una distribución binomial

Propiedades de la curva de distribución normal

Sea

la función que modela la curva de distribución normal, con mÎR, s>0 y xÎR.

1. Los valores de la curva son positivos: f(x)>0.

Se puede verificar fácilmente esta propiedad, pues ninguno de los dos factores que componen la regla de correspondencia pueden tomar como valor el cero o negativos.

2. La curva es simétrica con respecto al valor de la media: f(m+a)=f(m-a).

Realizando la sustitución:

3. La curva tiene un valor máximo en el valor de la media, cuando x=m.

Calculando la derivada de f(x) e igualando a cero para resolver:

\ existe un punto crítico en x=m.
Calculando la derivada de segundo orden y sustituyendo en el punto crítico tenemos que:

\ se tiene que en este punto la función tiene un máximo.

4. La curva tiene puntos de inflexión en aquellos valores de x para los cuales a la media se le suma o se le resta una desviación estándar, es decir, en x=m±s.

Calculando la derivada de segundo orden, igualando a cero y resolviendo para x, se tiene:

\ la función tiene puntos de inflexión en m±s.

5. La curva, en sus extremos izquierdo y derecho, tiende a acercarse infinitamente al valor cero, es decir, el eje de las abscisas es asíntota horizontal. Esto quiere decir que .